기하학(Geometry)

기하학(Geometry)

기하학(Geometry)은 형상,도형의 거리, 상대위치 및 크기 등 공간 특성에 관하여 연구한 수학의 한 분야입니다. 기하학은 산술과 함께 수학의 가장 오래된 분야 중 하나 이며, 기하학을 전문적으로 수학한 사람을 기하학자라고 합니다. 19세기까지 기하학은 유클리드 기하학에 거의 전적으로 전념하고 있었습니다. 유클리드 기하학에는 점, 선, 평면, 거리, 각도, 표면 및 곡선의 개념이 기본 개념으로 포함되어 있었습니다. 원래 물리적 세계를 모델링하기 위해 개발된 기하학은 거의 모든 과학에 응용되고 있으며 예술이나 건축 등 그래픽 관련 활동에도 응용되고 있습니다. 기하학은 분명히 무관한 수학 영역에도 응용이 있습니다. 예를 들어 대수기하학의 방법은 기본적인 산술의 관점에서 기술되어 수세기에 걸쳐 해결되지 않은 채로 남아 있던 페르마의 마지막 정리에 대한 와일스의 증명의 기본이 됩니다. 19세기 동안 몇몇의 위대한 발견은 기하학의 발전에 지대한 공을 세웠습니다. 그중 가장 오래된 발견 중 하나는 표면의 가우스 곡률이 유클리드 공간에서의 특정 매립으로부터 독립적임을 대략적으로 판단하는 카를 프리드리히 가우스의 이론 마 에그레기움 입니다. 이는 표면이 본질적으로, 즉 독립된 공간으로 연구되어 다양체와 리먼 기하학 이론으로 확장되었음을 의미합니다. 19세기 후반 평행한 가정이 없는 기하학은 모순을 도입하지 않고 발전할 수 있게 되었습니다. 일반상대성이론의 기초가 되는 기하학은 비유클리드 기하학의 유명한 응용입니다. 19세기 후반 이후 기하학의 범위는 대폭 확대되었고, 그 분야는 기초적인 방법에 의존하는 많은 서브필드(미분기하학, 대수기하학, 계산기하학, 대수 토폴로지, 이산기하학, 조합지오메트리 등으로 분할되어 왔습니다. 또는 무시되는 유클리드 공간의 특성상 점 정렬만을 고려하는 투영 기하학, 연속성을 생략하는 유한 기하학, 거리와 평행도 개념을 생략하는 아핀 기하학 등 여러가지가 있습니다. 이 기하학적 범위의 확대는 원래 유클리드 기하학에 의해 제공된 물리 세계의 3차원 공간과 그 모델을 가리키던 공간 이라는 단어의 의미 변화로 이어졌습니다. 현재 기하학적 공간 또는 단순한 공간이란 몇 가지 기하학으로 정의되는 수학적 구조를 나타냅니다.

기하학의 역사

기하학의 역사 중 기하학의 최초 기록은 기원전 2000년에 고대 메소포타미아와 이집트로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 초기 기하학은 각도, 면적, 길이, 부피에 관한 경험적으로 발견된 원리들의 집합으로 측량, 건설, 천문학 및 다양한 공예에서 실제 필요성을 충족시키기 위해 개발된 것입니다. 기하학에 관한 가장 초기 문헌은 이집트의 르힌드 파피루스(기원전 2000년-기원전 1800년)와 모스크바의 파피루스(기원전 1890년경), 그리고 플립톤 322(BC 1900년)와 같은 바빌로니아 점토판이다. 예를 들어 모스크바의 파피루스는 잘라버린 피라미드 또는 플라섬의 부피를 계산하는 공식이 기록되어 있습니다. 이후 점토판(기원전 350~50년)은 바빌로니아 천문학자들이 목성의 위치와 운동을 시간 속도 공간 내에서 계산하기 위해 사다리꼴 계산을 실행했음을 보여줍니다. 이러한 기하학적 계산은 평균 속도 정리를 포함한 훗날 14세기 이후의 옥스퍼드 계산기를 미리 예측했습니다. 고대 누비아인들은 이집트 남부에서 태양시계의 초기 버전을 포함한 기하학 시스템을 정립 했습니다. 기원전 7세기 그리스 수학자 탈레스 오브 밀레토스는 피라미드 높이와 해안에서 배 사이의 거리를 계산하는 등의 문제를 풀기 위해 기하학을 사용했습니다. 그는 테일즈 정리에 4가지 귀납법을 도출함으로써 기하학에 적용된 연역적 추론의 첫 사용으로 크레딧을 받고 있습니다. 피타고라스는 피타고라스파를 설립했는데, 이것은 피타고라스 정리의 첫 번째 증명으로 여겨지고 있습니다. 에우덕서스 (기원전 355년)는 곡선 도형의 면적과 부피 계산을 가능하게 하는 소진법을 개발했습니다. 또한 감당할 수 없는 크기의 문제를 회피한 이론의 비율이 컷으며, 이를 통해 후속 기하학자들이 큰 진보를 이룰 수 있었습니다. 기원전 300년경 기하학은 유클리드에 의해 혁명을 일으켰고, 그 혁명은 지금까지 가장 성공적이고 영향력 있는 교과서로 널리 알려져 있었습니다. 공리법에 의해 수학적 엄밀함이 도입되어 오늘날에도 수학에서 사용되는 형식의 첫 번째 예 입니다. 이러한 내용의 대부분은 이미 알려져 있었지만 유클리드는 그것들을 단일하며 일관된 논리 틀에 배치했습니다. 이러한 논리는 20세기 중반까지 서양 교육을 받은 모든 사람들에게 알려져 있으며, 그 내용은 오늘날에도 기하학 수업에서 가르치고 있습니다. 이탈리아 시라큐스의 아르키메데스(기원전 287년경 - 기원전 212년경)는 무한급수의 합을 가진 포물선 원호 아래 면적을 계산하기 위해 소모법을 사용하여 원주율의 매우 정확한 근사치를 주었습니다. 그는 또한 자신의 이름을 딴 나선을 연구하여 획기적인 표면의 부피를 구하는 공식을 발견 하였습니다.

위의 인물들을 제외한 인도 수학자들도 기하학에 많은 중요한 공헌을 했습니다. 샤타파타 브라흐마나(기원전 3세기)에는 술바경과 비슷한 의식적 기하학적 구조의 규칙이 있다고 기록되어 있습니다. 어느 기하학 책에 따르면 촐바 사스트라스는 구 바빌로니아인들에게는 이미 알려져 있었지만 피타고라스 정리의 현존하는 가장 오래된 언어 표현을 담고 있습니다. 여기에는 피타고라스 세개의 목록이 포함되어 있으며, 이것들은 디오판틴 방정식의 특정한 경우 입니다. 바흐샤리 원고에는 기하학적인 문제(불규칙한 고체의 부피에 관한 문제 포함)가 몇 가지 있습니다. 바크샬리 원고는 또, 제로의 도트를 가지는 소수점 이하의 값 시스템을 채용하고 있습니다. 아리하브하타의 아리야브하티야는 면적과 부피 계산을 포함하고 있습니다. 브라흐마굽타는 628년에 천문학적인 작품 브람마스푸이아시단타를 저술했습니다. 제12장에는 66개의 산스크리트어 시가 수록되어 있으며, 기본적인 조작(입방근, 분수, 비율과 비율 포함)과 실용수학(혼합물, 수학계열, 평면도형, 쌓기벽돌, 목재톱 및 곡물 적재 포함)으로 나누어져 있습니다. 후자 섹션에서는 그는 순환 사변형 대각선에 관한 유명한 정리를 말하고 있습니다. 제12장에서는 순환사변형의 면적에 관한 공식(헤론식의 일반화)과 합리적인 삼각형(즉 합리적인 변과 합리적 면적을 가진 삼각형)에 대해서도 설명했습니다.

중세에 중세 이슬람 수학은 기하학, 특히 대수기하학의 발전에 기여했습니다. 알마하니는 입방체를 대수 문제로 복제하는 등 기하학적인 문제를 줄이겠다는 아이디어를 고안 했습니다. 더비티븐 콰라(836-901)는 기하학적 양의 비율에 적용되는 연산을 다루며 해석기하학 발전에 기여 했습니다. 오마르 카이얌(1048-1131)은 삼차 방정식에 대한 기하학적 해법을 발견했습니다. 이브남하야탈, 오마르카얌, 나스랄 디날 투시의 4변형(램버트 사변형과 사첼리 사변형 포함)의 정리는 쌍곡선 기하학에서의 초기 결과이며 플레이페어의 공리와 같은 대체적인 가정과 함께 이 작품들은 비텔로(1230년경-1314년경), 게르소니데스(1288년-1344년), 알폰소, 존 월리스, 조로리스입니다. 17세기 초 기하학에는 두 가지 중요한 발전이 있었습니다. 첫 번째는 르네 데카르트(1596년-1650년)와 피에르 드 페르마(1601년-1665년)에 의한 좌표와 방정식을 이용한 해석 기하학의 작성이었습니다.이는 미적분학 발전에 필요한 전구체이자 물리학의 정확한 정량과학이었습니다.이 시대의 두 번째 기하학적 발전은 길라드 데살구스(1591년-1661년)에 의한 투영기하학의 체계적 연구다. 투영 기하학은 특히 예술적 관점과 관련된 투영과 단면 아래 변화하지 않는 형상의 특성을 연구합니다. 19세기 기하학의 두 가지 발전은 이전에 연구되던 방법을 바꿨습니다.이것들은 니콜라이 이바노비치 로바체프스키, 야노스 보리와이, 카를 프리드리히 가우스에 의한 비유클리드 기하학의 발견으로 펠릭스 클라인의 에를랑겐 계획(유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 일반화 하였습니다)에서의 중심적인 고려사항으로서 대칭성의 정식화다. 당시의 주요 기하학자는 베른하르트 리먼(1826년 -1866년)으로 주로 수학적 해석 툴을 이용해 리먼 면을 도입했습니다. 기하학 개념에 있어서 이러한 큰 변화의 결과로 공간이라는 개념은 풍부하고 다양해졌으며, 이론의 자연적 배경은 복잡한 분석이나 고전 역학만큼이나 달랐습니다.

기하학의 적용

기하학이 적용되는 학문에는 여러가지가 있습니다. 그 중 수학과 예술은 다양한 방법으로 관련되어 있습니다. 예를 들어, 원근법 이론은 도형의 메트릭 특성뿐만 아니라 기하학에도 많은 것이 있음을 보여줍니다. 원근법은 사영 기하학의 기원입니다. 예술가들은 오랫동안 비례의 개념을 디자인에 사용해 왔습니다. 비트루위우스는 인간의 모습에 대한 이상적인 비율의 복잡한 이론을 개발했습니다. 이러한 컨셉은 미켈란젤로부터 현대 만화가들에 의해 사용되고 적응되고 있습니다. 황금비율은 예술에서 논란의 여지가 있는 역할을 해온 특별한 비율입니다. 가장 미적으로 좋아할 만한 길이의 비율이라고 주장되는 경우가 많으며, 유명한 예술 작품에 포함된다고 종종 말하지만, 가장 신뢰할 수 있는 명확한 예는 이 전설을 아는 예술가 의도적으로 만들어졌습니다. 틸링 또는 테셀은 역사를 통해 예술에서 사용되어 왔습니다. 이슬람 예술은 M.C. 에셔의 예술과 마찬가지로 테셀을 자주 사용하고 있습니다.에셔의 연구는 쌍곡선 기하학도 이용했습니다. 세잔은 구체, 원뿔, 원주에서 모든 이미지를 구축할 수 있다는 이론을 제창했습니다. 이것은 오늘날에도 예술 이론에서 사용되고 있지만, 정확한 형태의 목록은 저자마다 다릅니다. 기하학은 건축에 많은 응용이 있습니다. 실제로 기하학은 건축 디자인의 핵심에 있다고 알려져 있습니다. 기하학의 건축 응용으로는 강제투시경을 작성하기 위한 투영기하학 사용, 돔이나 유사물을 구축할 때 원추단면 사용, 테셀화 사용, 대칭성 사용 등이 있습니다. 천문학 분야는 특히 천구에서 별과 행성의 위치를 매핑하고 천체의 움직임과의 관계를 기술하는 것과 관련되어 있어 역사를 통틀어 기하학적 문제의 중요한 원천이 되고 있습니다. 리먼 기하학과 의사 리먼 기하학은 일반 상대성 이론에서 사용됩니다.현 이론은 양자 정보 이론과 마찬가지로 기하학의 몇 가지 변형을 이용합니다. 미적분학은 기하학의 영향을 강하게 받았습니다. 예를 들어 르네 데카르트에 의한 좌표 도입과 대수학의 동시 전개는 평면곡선 등 기하학적 도형을 함수나 방정식 형태로 해석적으로 나타낼 수 있었기 때문에 기하학의 새로운 단계가 되었습니다. 이것은 17세기 미적분학의 출현에 중요한 역할을 했습니다. 해석 기하학은 전처리와 미적분 커리큘럼의 주축으로 남아 있습니다. 응용의 또 다른 중요한 분야는 수론입니다.고대 그리스에서 피타고라스인들은 기하학에서 수의 역할을 고려했습니다. 그러나 헤아릴 수 없는 길이의 발견은 그들의 철학적 견해와 모순되었습니다. 19세기 이후 기하학은 이론의 문제를 풀기 위해 사용되어 왔는데, 예를 들어 수의 기하학이나 최근에는 계획이론을 통해 이는 윌스의 페르머 마지막 정리 증명에 사용됩니다.

그 다음으로 대수기하학 필드는 좌표의 데카르트 기하학에서 발전했습니다. 주기적인 성장기를 거쳐 쌍생 대수 기하학, 대수 다양체 및 가환대수, 투영 기하학의 작성과 연구가 이루어졌습니다. 1950년대 후반부터 1970년대 중반까지 장 피에르 셀레와 알렉산더 그로텐디에크의 엄청난 노력으로 큰 기초적 발전을 이루었습니다. 이것은 스킴의 도입으로 이어져 다양한 기하학 이론을 포함하는 토폴로지적 방법에 보다 중점을 둔 것입니다. 7개의 밀레니엄 상 문제 중 하나인 호지 추측은 대수 기하학에 대한 의문 중 하나 입니다. 페르머의 마지막 정리에 대한 윌스의 증명은 수이론의 오랜 문제를 해결하기 위해 대수기하학의 고급 방법을 사용합니다. 일반적으로 대수기하학은 다변량 다항식과 같은 가환 대수의 개념 사용을 통해 기하학을 연구합니다. 암호학과 문자열 이론을 포함한 많은 분야에서 응용되고 있습니다. 복소기하학은 복소평면을 모델링하거나 복소평면에서 생기는 기하학적 구조의 성질을 연구합니다. 복소기하학은 미분기하학, 대수기하학 및 여러 복소변수의 해석의 교점에 있으며 현이론과 거울대칭성에 대한 응용을 발견했습니다. 복잡한 기하학은 리먼 표면 연구에서 베른하르트 리먼의 연구에서 최초로 다른 연구 영역으로 등장했습니다.리먼의 정신 연구는 1900년대 초 이탈리아 대수기하학파에 의해 실시된 복잡한 기하학의 현대적인 취급은 주제에 시브 개념을 도입한 장 피에르 셀레의 연구에서 시작되어 복잡한 기하학과 대수기하학과의 관계를 밝혀냈습니다. 복잡한 기하학에서 연구의 주된 목적은 복잡한 다양체, 복잡한 대수적 다양체 및 복잡한 해석적 다양체이며 이러한 공간에 걸친 정칙 벡터 다발과 일관성 있는 이론 입니다. 복소 기하학에서 연구된 공간의 특별한 예로는 리먼 면과 카라비 면이 있는 야우 다양체, 그리고 이 공간들은 현 이론에서 용도를 찾습니다. 특히 현의 세계 표는 리먼 면에 의해 모델화되어 있으며, 초현 이론은 10차원 시공간의 여분의 6차원은 카라비에 의해 모델화될 수 있다고 예측하고 있는 야우 다양체입니다. 이산 기하학은 볼록 형상과 밀접한 관계를 갖는 주제입니다. 그것은 주로 점, 선, 원과 같은 단순한 기하학적 물체의 상대 위치에 관한 문제와 관련이 있습니다. 예를 들어 구체패킹, 삼각측량, 윤세르 폴센 추측 등의 연구가 있습니다. 이것은 조합론과 많은 방법과 원칙을 공유합니다. 볼록 형상은 유클리드 공간의 볼록 형상과 그보다 추상적인 유사성을 조사하며 종종 실해석과 이산수학 기술을 사용합니다.볼록 해석, 최적화 및 기능 해석 및 수 이론에서의 중요한 응용과 밀접한 관련이 있습니다. 볼록 형상은 고대로 거슬러 올라갑니다.아르키메데스는 볼록한 부분에 대한 최초의 정확한 정의를 내렸습니다. 볼록 기하학에서의 반복적인 개념인 등주율 문제는 제노드로스를 포함한 그리스인들에 의해서도 연구되었습니다. 아르키메데스, 플라톤, 유클리드, 그리고 나중에 케플러와 콕세터는 모두 볼록 다면체와 그 성질을 연구했습니다. 19세기 이후 수학자들은 고차원 다면체, 볼록체의 부피와 표면적, 가우스 곡률, 알고리즘, 틸링과 격자 등 볼록 수학의 다른 영역을 연구해 왔습니다. 토폴로지는 연속 매핑 특성에 관한 분야이며 유클리드 기하학의 일반화로 간주됩니다. 실제로 토폴로지는 종종 연결성이나 콤팩트성 등 공간의 대규모 특성을 다루는 것을 의미합니다. 20세기에 대규모 발전을 이룬 토폴로지 분야는 기술적 의미에서는 변환 기하학의 일종이며 변환은 동형입니다. 이것은 종종 "토폴러지는 고무 시트 기하학이다" 라는 말의 형태로 표현되어 왔습니다. 토폴로지의 하위 필드에는 차분 토폴로지, 지오메트리 토폴로지, 대수 토폴로지 및 일반 토폴로지가 포함됩니다. 미분기하학은 기하학 문제를 연구하기 위해 미적분과 선형 대수 기술을 사용합니다. 물리학, 계량 경제학, 바이오 인포매틱스 등의 분야에 응용되고 있습니다. 특히 미분기하학은 우주가 곡선을 그리고 있다는 앨버트 아인슈타인의 일반상대성이론 가정에 따라 수학물리학에 아주 중요한 부분을 차지하고 있습니다. 디퍼렌셜 지오메트리는 고유한 것(즉 기하학적 구조가 각 점 근처에서 거리가 어떻게 측정되는지를 결정하는 리먼 메트릭에 의해 제어되는 매끄러운 다양체라고 생각하는 공간) 또는 외부적인 것(연구 대상 객체가 환경 평탄 유클리드 공간의 일부일 경우)일 수 있습니다.